Question

已知橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其中a²=4c，直線l：3x-2y=0與橢圓的交點(diǎn)在x軸上的射影恰為橢圓的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，試探究以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），由題意可得直線3x-2y=0與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是M(c，

3c

2

)，由橢圓定義可得4c=2a①，再由

a2

c

=4②，a²=b²+c²③，可得a，b，c；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P（1，

3

2

），F(xiàn)（1，0），由已知易求兩圓的方程，求出圓心距，可得與兩圓半徑間的關(guān)系，由此可作出位置判斷；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），
直線3x-2y=0與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是M(c，

3c

2

)，
根據(jù)橢圓的定義得：|MF₁|+|MF₂|=2a，
即

[c-(-c)]2+( 3c 2 )2

+

(c-c)2+( 3c 2 )2

=2a，即4c=2a①，
又

a2

c

=4②，a²=b²+c²③，聯(lián)立①②③三式解得a=2，b=

3

，c=1，
所以橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P（1，

3

2

），F(xiàn)（1，0），
則以PF為直徑的圓的方程是(x-1)2+(y-

3

4

)2=

9

16

，圓心為（1，

3

4

），半徑為

3

4

，；
以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程是x²+y²=4，圓心是（0，0），半徑是2，
兩圓心距為

12+( 3 4 )2

=

5

4

=2-

3

4

，所以兩圓內(nèi)切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．