(2007
山東,19)如下圖,在直四棱柱中,已知,AD⊥DC,AB∥DC.(1)
設(shè)E是DC的中點,求證:∥平面;(2)
求二面角的余弦值.
解析:解法一: (1)連接BE,則四邊形DABE為正方形,∴ ,且,∴四邊形 為平行四邊形.∴ .又 平面,平面,∴ .(2) 以D為原點,DA,DC,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,不妨設(shè)DA=1,則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2),∴ =(1,0,2),=(1,1,0).設(shè) n=(x,y,z)為平面的一個法向量,由 ,,得 取 z=1,則n=(-2,2,1).又 =(0,2,2),=(1,1,0),設(shè) 為平面的一個法向量,由,,得 取 ,則m=(1,-1,1).設(shè) m與n的夾角為α,二面角為θ,顯然θ為銳角,∴ .∴.即所求二面角 的余弦值為.解法二: (1)以D為原點,DA,DC,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè) DA=a,由題意知:D(0 ,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,2a,0),(0,2a,2a),(a,0,2a),(0,0,2a),E(0,a,0),∴ =(0,a,-2a),=(a,0,2a),=(a,a,0).又 (0,a,-2a)=(a,a,0)-(a,0,2a),∴ .∵ ,DB平面,平面,∴ .(2) 取DB的中點F,的中點M,連接,FM,由(1)及題意得知,M(0,a,a),∴ , . , .∴ ,FM⊥DB.∴ 為所求二面角的平面角.∴ .所以二面角 的余弦值為.解法三: (1)證明:如解法一圖,連接,AE,設(shè) ,AE∩BD=F,連接GF,由題意知 G是的中點,又E是CD的中點,∴四邊形 ABED是平行四邊形,故F是AE的中點,∴在 中,,又 GF平面,平面,∴ ∥平面.(2) 如圖,在四邊形ABCD中,設(shè)AD=a,∵ AB=AD,AD⊥DC,AB∥DC,∴ AD⊥AB.故 ,由(1)得,DC=2a,∴∠ DBC=90°,即 BD⊥BC.又,∴ BD⊥平面,又平面,∴.取 的中點M,連接,FM,由題意知,∴ FM⊥BD.又,∴.∴ 為二面角的平面角,連接 ,在中,由題意知: ,,取 的中點H,連接,HM,在 Rt中,∵,HM=a,∴ .∴ .∴二面角 的余弦值為. |
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:013
(2007
山東,8)某班50名學生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?/FONT>13秒與19秒之間,將測試結(jié)果按如下方式分成六組:第一組,成績大于等于13秒且小于14秒;第二組,成績大于等于14秒且小于15秒;……第六組,成績大于等于18秒且小于等于19秒.如圖所示是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績小于17秒的學生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x,成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數(shù)為y,則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為[
]
A .0.9,35 |
B .0.9,45 |
C .0.1,35 |
D .0.1,45 |
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