(2007山東,19)如下圖,在直四棱柱中,已知,ADDCABDC

(1)設(shè)EDC的中點,求證:∥平面;

(2)求二面角的余弦值.

答案:略
解析:

解析:解法一:(1)連接BE,則四邊形DABE為正方形,

,且,

∴四邊形為平行四邊形.

平面,平面

(2)D為原點,DA,DC,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,不妨設(shè)DA=1,則D(00,0),A(10,0),B(1,1,0),(0,2,2)(1,0,2),

=(10,2),=(11,0)

設(shè)n=(xy,z)為平面的一個法向量,

,,

z=1,則n=(2,2,1)

=(0,2,2),=(1,1,0),

設(shè)為平面的一個法向量,由,,

,則m=(1,-1,1)

設(shè)mn的夾角為α,二面角θ,顯然θ為銳角,

.∴

即所求二面角的余弦值為

解法二:(1)D為原點,DA,DC,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,

設(shè)DA=a,由題意知:

D(00,0)A(a,0,0)B(a,a0),C(02a,0),(0,2a,2a),(a0,2a),(0,0,2a),E(0,a0),

=(0a,-2a)=(a,0,2a),=(a,a0)

(0,a,-2a)=(a,a,0)(a,02a),

,DB平面,平面

(2)DB的中點F,的中點M,連接,FM,由(1)及題意得知,M(0a,a),

,

,FMDB

為所求二面角的平面角.

所以二面角的余弦值為

解法三:(1)證明:如解法一圖,連接,AE,

設(shè),AEBD=F,連接GF,

由題意知G的中點,又ECD的中點,

∴四邊形ABED是平行四邊形,故FAE的中點,

∴在中,,

GF平面,平面

∥平面

(2)如圖,在四邊形ABCD中,設(shè)AD=a,

AB=ADADDC,ABDC,

ADAB

,由(1),DC=2a,

∴∠DBC=90°

BDBC.又,

BD⊥平面,又平面,∴

的中點M,連接FM,由題意知,

FMBD.又,∴

為二面角的平面角,

連接,在中,由題意知:

,,

的中點H,連接HM,

Rt中,∵,HM=a,

∴二面角的余弦值為


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[  ]

A0.9,35

B0.9,45

C0.135

D0.1,45

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