Question

如圖，在五面體中，平面ABCD⊥平面BFEC，Rt△ACD、RtACB、Rt△FCB、Rt△FCE為全等直角三角形，AB=AD=FB=FE=1，斜邊AC=FC=2．
（Ⅰ）證明：AF∥DE；
（Ⅱ）求棱錐D-BCEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知AB⊥BC，F(xiàn)B⊥BC，sin∠ACB=，故∠ACB=30°，∠DCB=60°，作DM⊥BC于M點(diǎn)，連接EM，證明△DMC≌△EMC，由此能夠推導(dǎo)出AF∥DE．
（2）由平面ABCD⊥平面BFEC，DM⊥BC，知DM⊥平面BCEF，由DC=BC=，知DM=DC•sin=，由此能求出棱錐D-BCEF的體積．
解答：解：（1）∵在五面體中，平面ABCD⊥平面BFEC，
Rt△ACD、RtACB、Rt△FCB、Rt△FCE為全等直角三角形，
AB=AD=FB=FE=1，斜邊AC=FC=2，
∴AB⊥BC，F(xiàn)B⊥BC，sin∠ACB=，
∴∠ACB=30°，∠DCB=60°，
如圖，作DM⊥BC于M點(diǎn)，連接EM，
在△DMC和△EMC中，∠MCD=∠MCE=60°，
CD=CE，CM=CM，
∴△DMC≌△EMC，∴∠DMC=∠EMC=90°，
故EM⊥BC，
∴EM∥BF，DM∥AB，∴面DEM∥面ABF，
面ADEF∩面ABF=AF，
面ADEF∩面DEM=DE，
∴AF∥DE．
（2）∵平面ABCD⊥平面BFEC，DM⊥BC，
∴DM⊥平面BCEF，
∵DC=BC=，
∴DM=DC•sin=，
∴S_{四邊形BCEF}=2S_△ABC=2×=2×=，
∴棱錐D-BCEF的體積V=×．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線平行的證明，考查棱錐的體積的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．