Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓C₁：x²+y²=a²+b²為橢圓C的“伴隨圓”．已知橢圓C的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點（0，1）．
（1）請求出橢圓C的標準方程；
（2）若過點P（0，m）（m＞0）的直線l與橢圓C有且只有一個公共點，且l被橢圓C的伴隨圓C₁所截得的弦長為2

2

，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）記橢圓C的半焦距為c．由題意，得b=1，

c

a

=

3

2

，由此能求出a，b．
（2）由（1）知，橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1，圓C₁的方程為x²+y²=5．設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．由此利用根的判別式、弦長公式、圓心到直線的距離，結(jié)合知識點能求出m．

解答： 解：（1）記橢圓C的半焦距為c，
由題意，得b=1，

c

a

=

3

2

，c²=a²+b²，
解得a=2，b=1，
故橢圓C的標準方程為：

x2

4

+y²=1．
（2）由（1）知，橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1，圓C₁的方程為x²+y²=5．
顯然直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，即kx-y+m=0．
因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，
故方程組

y=kx+m x2 4 +y2=1

（*）有且只有一組解．
由（*）得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
從而△=（8km）²-4（1+4k²）（ 4m²-4）=0．
化簡，得m²=1+4k²．①
因為直線l被圓x²+y²=5所截得的弦長為2

2

，
所以圓心到直線l的距離d=

5-2

=

3

．
即

|m|

k2+1

=

3

．    ②
由①②，解得k²=2，m²=9．
因為m＞0，所以m=3．

點評：本題主要考查實數(shù)值的求法，考查直線與橢圓、圓等知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力，屬于中檔題．