選修4-5：不等式選講
設函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）已知關于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】
分析：（1）通過分類討論，去掉絕對值函數(shù)中的絕對值符號，轉化為分段函數(shù)，即可求得不等式f（x）＞0的解集；
（2）構造函數(shù)g（x）=f（x）-3，關于x的不等式a+3＜f（x）恒成立?a＜f（x）-3恒成立?a＜g（x）
min，先求得f（x）
min，再求g（x）
min即可．
解答：解：（1）∵f（x）=|2x+1|-|x-3|=
，
∵f（x）＞0，
∴①當x＜-
時，-x-4＞0，
∴x＜-4；
②當-
≤x≤3時，3x-2＞0，
∴
＜x≤3；
③當x＞3時，x+4＞0，
∴x＞3．
綜上所述，不等式f（x）＞0的解集為：（-∞，-4）∪（
，+∞）…（5分）
（2）由（1）知，f（x）=
，
∴當x≤-
時，-x-4≥-
；
當-
＜x＜3時，-
＜3x-2＜7；
當x≥3時，x+4≥7，
綜上所述，f（x）≥-
．
∵關于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，
∴a＜f（x）-3恒成立，
令g（x）=f（x）-3，則g（x）≥-
．
∴g（x）
min=-
．
∴a＜g（x）
min=-
…10 分
點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查分類討論思想與構造函數(shù)的思想，考查恒成立問題，屬于難題．
