Question

（本題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上．

（I）當(dāng)時(shí)，求證平面

（II）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析（II）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）在平行四邊形中，

由，，，

易知，                                                        ……2分

又平面，所以平面,∴，

在直角三角形中，易得，

在直角三角形中，，，又，∴，

可得

.

∴，                                                        ……5分

又∵，∴平面．                               ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，

可知為二面角的平面角，

，此時(shí)為的中點(diǎn).                                     ……8分

過作,連結(jié),則平面平面,

作,則平面,連結(jié),

可得為直線與平面所成的角．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013022610101390104041/SYS201302261010553853666787_DA.files/image040.png">,,

所以.                                         ……10分

在中，，

直線與平面所成角的正弦值為.                          ……12分

解法二：依題意易知，平面ACD．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC、AD、SA分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則易得，

（Ⅰ）由有，                                 ……3分

易得，從而平面．                             ……6分

 (Ⅱ)由平面，二面角的平面角.

又，則 為的中點(diǎn)，

即 ,                                                  ……8分

設(shè)平面的法向量為

則，令,得，                  ……10分

從而，

直線與平面所成角的正弦值為.                         ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查線面垂直的證明和線面角的求法，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：解決空間立體幾何問題可以用傳統(tǒng)的方法證明也可以用向量方法來證明，用傳統(tǒng)方法證明時(shí)，要把證明所用的定理的條件擺清楚，缺一不可，用向量方法時(shí)，運(yùn)算量比較大.