【題目】（本小題滿分12分）

如圖在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4,點(diǎn)D是AB的

中點(diǎn).

(1) 求證： AC⊥BC1

(2) 求證：AC1∥平面CDB1

(3) 求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.

【答案】

【解析】

試題分析：（1）由勾股定理計(jì)算得AC⊥BC，再由直棱柱性質(zhì)得C1C⊥AC，最后根據(jù)線面垂直判定定理得AC⊥平面BCC1B1，即得AC⊥BC1.（2）設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，由三角形中位線性質(zhì)得DE∥AC1，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論（3）因?yàn)?/span>DE∥AC1，所以∠CED為AC1與B1C所成的角．再根據(jù)解三角形得所成角的余弦值．

試題解析：(1)證明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.

又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.

∵BC1平面BCC1B，∴AC⊥BC1.

(2)證明：設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE，又四邊形BCC1B1為正方形．

∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，∴DE∥AC1.

∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1.

(3)∵DE∥AC1，

∴∠CED為AC1與B1C所成的角．在△CED中，ED＝AC1＝，

CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED＝＝.

∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為.

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（2）求甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率；

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