【題目】（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4,點(diǎn)D是AB的

中點(diǎn).

(1) 求證： AC⊥BC1

(2) 求證：AC1∥平面CDB1

(3) 求異面直線(xiàn)AC1與B1C所成角的余弦值.

【答案】

【解析】

試題分析：（1）由勾股定理計(jì)算得AC⊥BC，再由直棱柱性質(zhì)得C1C⊥AC，最后根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理得AC⊥平面BCC1B1，即得AC⊥BC1.（2）設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，由三角形中位線(xiàn)性質(zhì)得DE∥AC1，再根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理得結(jié)論（3）因?yàn)?/span>DE∥AC1，所以∠CED為AC1與B1C所成的角．再根據(jù)解三角形得所成角的余弦值．

試題解析：(1)證明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.

又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.

∵BC1平面BCC1B，∴AC⊥BC1.

(2)證明：設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE，又四邊形BCC1B1為正方形．

∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，∴DE∥AC1.

∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1.

(3)∵DE∥AC1，

∴∠CED為AC1與B1C所成的角．在△CED中，ED＝AC1＝，

CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED＝＝.

∴異面直線(xiàn)AC1與B1C所成角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知f（x）=e2x+ln（x+a）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，①求f（x）在（0，1）處的切線(xiàn)方程；②當(dāng)x≥0時(shí)，求證：f（x）≥（x+1）2+x．
（2）若存在x0∈[0，+∞），使得 成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市醫(yī)療保險(xiǎn)實(shí)行定點(diǎn)醫(yī)療制度，按照“就近就醫(yī)、方便管理” 的原則，規(guī)定參加保險(xiǎn)人員可自主選擇四家醫(yī)療保險(xiǎn)定點(diǎn)醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為就診的醫(yī)療機(jī)構(gòu).若甲、乙、丙、丁4名參加保險(xiǎn)人員所在地區(qū)附近有三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們的選擇是等可能的、相互獨(dú)立的.

（1）求甲、乙兩人都選擇社區(qū)醫(yī)院的概率；

（2）求甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率；

（3）設(shè)在4名參加保險(xiǎn)人員中選擇社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作圓：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切線(xiàn)PQ，其中Q為切點(diǎn)，若|PQ|=|PO|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則|PQ|的最小值是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某物流公司進(jìn)行倉(cāng)儲(chǔ)機(jī)器人升級(jí)換代期間，第一年有機(jī)器人臺(tái)，平均每臺(tái)機(jī)器人創(chuàng)收利潤(rùn)萬(wàn)元．預(yù)測(cè)以后每年平均每臺(tái)機(jī)器人創(chuàng)收利潤(rùn)都比上一年增加萬(wàn)元，但該物流公司在用機(jī)器人數(shù)量每年都比上一年減少．

（1）設(shè)第年平均每臺(tái)機(jī)器人創(chuàng)收利潤(rùn)為萬(wàn)元，在用機(jī)器人數(shù)量為臺(tái)，求，的表達(dá)式；

（2）依上述預(yù)測(cè)，第幾年該物流公司在用機(jī)器人創(chuàng)收的利潤(rùn)最多？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AB=BD= ，PB=
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)Q是棱PC上的點(diǎn)，當(dāng)PA∥平面BDQ時(shí)，求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線(xiàn)l1：x+2y+1=0，l2：-2x+y+2=0，它們相交于點(diǎn)A.

(1)判斷直線(xiàn)l1和l2是否垂直？請(qǐng)給出理由.

(2)求過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)l3：3x+y+4=0平行的直線(xiàn)方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=pe﹣x+x+1（p∈R）． （Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)p=e時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)x=1處的切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)p=1時(shí)，若直線(xiàn)y=mx+1與曲線(xiàn)y=f（x）沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）求整數(shù)的值，使函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案