Question

在數(shù){a_n}中，a₁=1，a₂=，a_n+1-a_n+a_n-1=0（n≥2，且n∈N^*）
（I）若數(shù)列{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，求實數(shù)λ；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)S_n=求證：S_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（I）由數(shù)列{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，可設(shè)a_n+1+λa_n=μ（a_n+λa_n-1），根據(jù)條件即可得到結(jié)論；
（II）n≥2時，a_n-a_n-1=3^n-1①，a_n-3a_n-1=②，從而可求數(shù)列的通項；
（III）證明（n≥2），利用放縮法，可得結(jié)論．
解答：（I）解：由數(shù)列{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，可設(shè)a_n+1+λa_n=μ（a_n+λa_n-1）（n≥2）
∴a_n+1+（λ-μ）a_n-λμa_n-1=0，
∵a_n+1-a_n+a_n-1=0，
∴，
∴λ=-或λ=-3；
（II）解：由上知，n≥2時，a_n-a_n-1=3^n-1①
∴a_n-3a_n-1=②
由①②可得；
（III）證明：由（II）知，＞0，
∵a_n-3a_n-1=，∴a_n＞3a_n-1
∴（n≥2）
∴S_n＜=-＜
∴S_n＜．
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查等比數(shù)列的運用，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．