Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P(2，

3

)，點F₂在線段PF₁的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點，直線F₂M與F₂N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率求得a和c的關(guān)系，進而根據(jù)橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）又點F₂在線段PF₁的中垂線上
推斷|F₁F₂|=|PF₂|，進而求得c，則a和b可得，進而求得橢圓的標準方程．
（2）設(shè)直線MN方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，表示出直線F₂M和F₂N的斜率，由α+β=π可推斷兩直線斜率之和為0，把x₁+x₂和x₁x₂代入即可求得k和m的關(guān)系，代入直線方程進而可求得直線過定點．

解答：解：（1）由橢圓C的離心率e=

2

2

得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

，
橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）又點F₂在線段PF₁的中垂線上
∴|F₁F₂|=|PF₂|，∴(2c

)

2

=(

3

)2+(2-c)2解得c=1，a²=2，b²=1，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由題意，知直線MN存在斜率，設(shè)其方程為y=kx+m．由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）≥0
即2k²-m²+1≥0
則x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，且kF2M=

kx1+m

x1-1

，kF2N=

kx2+m

x2-1

由已知α+β=π，得kF2M+kF2N=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0．
化簡，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂-2m）=0
∴2k•

2m2-2

2k2+1

-

4km(m-k)

2k2+1

-2m=0整理得m=-2k．
∴直線MN的方程為y=k（x-2），因此直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．考查了學(xué)生對問題的綜合分析和基本的運算能力．