Question

如圖在矩形ABCD中，AB=2+

3

，BC=1，E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AED沿AE折起，使點(diǎn)D在面ABC上的射影K在直線AE上，當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C，則K所形成軌跡的長(zhǎng)度為（　�。�

• A．

  5π

  12

• B．

  π

  12

• C．

  6 + 2

  4

• D．

  6 + 2

  2

Answer 1

分析：根據(jù)題意點(diǎn)D在面ABC上的射影K在直線AE上，即D′K⊥AE．因?yàn)镽t△AD'K的斜邊AD'=1為定長(zhǎng)，所以K的軌跡是以AD′為直徑的一段圓弧D′K．因此，求出圓心角∠D′OK的大小，結(jié)合弧長(zhǎng)公式加以計(jì)算，即可求得K所形成軌跡的長(zhǎng)度．

解答：解：由題意，D′K⊥AE，所以K的軌跡是以AD′為直徑的一段圓弧D′K，設(shè)AD′的中點(diǎn)為O，
∵長(zhǎng)方形ABCD′中，AB=2+

3

，BC=AD'=1，
∴tan∠D′AC=

D′C

AD′

=2+

3

，
∵∠D′AC是銳角，且tan

5π

12

=2+

3

，
∴可得∠D′AC=

5π

12

因此，∠D'OK=2∠D′AC=

5π

6

，
可得K所形成軌跡，也就是弧D'K的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=

5π

6

×

1

2

=

5π

12

故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題以平面圖形的翻折為載體，考查立體幾何中的軌跡問題，考查弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用Rt△AD'K的斜邊AD'為定長(zhǎng)，從而可知直角頂點(diǎn)K的軌跡是以AD′為直徑的一段圓弧D′K．