Question

已知實(shí)數(shù)a使得只有一個實(shí)數(shù)x滿足關(guān)于x的不等式|x²+2ax+3a|≤2，則滿足條件的所有的實(shí)數(shù)a的個數(shù)是

2

．

Answer 1

分析：將絕對值符號去掉，問題轉(zhuǎn)化為有且只有一個實(shí)數(shù)x使x²+2ax+3a≤2成立，利用相應(yīng)二次函數(shù)可知函數(shù)y=x²+2ax+3a-2的圖象與x軸相切，從而使問題得解．

解答：解：因?yàn)閨x²+2ax+3a|≤2，即-2≤x²+2ax+3a≤2．
又因?yàn)橹挥幸粋�實(shí)數(shù)x滿足關(guān)于x的不等式|x²+2ax+3a|≤2，
所以有且只有一個實(shí)數(shù)x使x²+2ax+3a≤2成立．
即有且只有一個實(shí)數(shù)x使x²+2ax+3a-2≤0成立，∴可知函數(shù)y=x²+2ax+3a-2的圖象與x軸相切．
所以根的判別式=4a²-4（3a-2）=0，所以a²-3a+2=0
所以a=1或2，故滿足條件的實(shí)數(shù)a的個數(shù)是 2．
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是一元二次不等式的應(yīng)用，主要考查一元二次不等式的解法，考查三個二次之間的關(guān)系，有一定的綜合性．