Question

已知四棱錐P－ABCD，它的底面是邊長為a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E為PA的中點．

(1)求證：平面EBD⊥平面ABCD；

(2)求點E到平面PBC的距離；

(3)求二面角A－BE－D的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：在四棱錐P－ABCD中，底面是菱形，連結AC、BD，交于F，則F為AC的中點． 　　又E為AD的中點，∴EF∥PC 　　又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．EF平面EBD． 　　∴平面EBD⊥平面ABCD． 　　(2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC 　　∴E到平面PBC的距離即是EF到平面PBC的距離 　　過F作FH⊥BC交BC于H， 　　∵PC⊥平面ABCD，F(xiàn)H平面ABCD 　　∴PC⊥FH． 　　又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，則FH是F到平面PBC的距離，也是E到平面PBC的距離． 　　∵∠FCH＝30°，CF＝a． 　　∴FH＝CF＝a． 　　(3)取BE的中點G，連接FG、AG由(1)的結論，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD， 　　∴AF⊥平面BDC． 　　∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂線定理得，AG⊥BE， 　　∴∠FGA為二面角D－BE－A的平面角． 　　FG＝×＝a，AF＝a． 　　∴tan∠FGA＝＝，∠FAG＝arctg 　　即二面角A－BE－D的大小為arctg