Question

2．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角正弦公式，兩角差的余弦、正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由三角函數(shù)的周期公式求出f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程求出f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（2）由x的范圍求出2x-$\frac{π}{6}$的范圍，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）
=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$得，$x=\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$，
∴f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程是$x=\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$；
（2）由$-\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{π}{2}$得，$-\frac{π}{3}≤$ 2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，
∴函數(shù)f（x）的值域是[$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二倍角正弦公式，兩角差的正弦、余弦公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查整體思想，化簡(jiǎn)、變形能力．