Question

已知θ∈（0，

π

2

），若sin⁴θ+cos⁴θ=

5

9

，則sin2θ=

2 2

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)θ的范圍求出2θ的范圍，確定出sin2θ大于0，利用完全平方公式得到（sin²θ+cos²θ）²=sin⁴θ+cos⁴θ+2sin²θcos²θ，將已知等式代入并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，整理后再利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，即可求出sin2θ的值．

解答：解：∵θ∈（0，

π

2

），
∴2θ∈（0，π），即sin2θ＞0，
∵sin⁴θ+cos⁴θ=

5

9

，
∴（sin²θ+cos²θ）²=sin⁴θ+cos⁴θ+2sin²θcos²θ=

5

9

+

1

2

sin²2θ=1，即sin²2θ=

8

9

，
解得：sin2θ=

2 2

3

．
故答案為：

2 2

3

點評：此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．