Question

已知f（x）=

1

2x-1

（x∈[2，6]）
（1）證明函數(shù)f（x）在[2，6]的單調性．
（2）求函數(shù)的最大值與最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的性質,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調性的定義進行證明．
（2）根據(jù)函數(shù)單調性和最值之間的關系即可得到結論．

解答： （1）證明：設2≤x₁≤x₂≤6，
所以f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1-1

-

1

2x2-1

=

2(x2-x1)

(2x1-1)(2x2-1)

由2≤x₁≤x₂≤6，
得x₂-x₁＞0，
于是，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
因此函數(shù)f（x）在[2，6]的單調遞減．
（2）由（1）可知函數(shù)f（x）在[2，6]的單調遞減，
所以f（x）=

1

2x-1

的最大值為f（2）=

1

2×2-1

=

1

3

，
最小值為f（6）=

1

2×6-1

=

1

11

．

點評：本題主要考查函數(shù)單調性和最值的求解和證明，利用函數(shù)單調性的定義是解決本題的關鍵．