Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，點(diǎn)E、F、G分別是棱B₁B、AB和B₁C₁上的動(dòng)點(diǎn)，觀察直線CE與D₁F，CE與D₁G．
給出下列結(jié)論：
①對(duì)于任意點(diǎn)E，存在點(diǎn)F，使得D₁F⊥CE；
②對(duì)于任意點(diǎn)F，存在點(diǎn)E，使得CE⊥D₁F；
③對(duì)于任意點(diǎn)E，存在點(diǎn)G，使得D₁G⊥CE；
④對(duì)于任意點(diǎn)G，存在點(diǎn)E，使得CE⊥D₁G．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用兩向量垂直的等價(jià)條件對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和為0．

解答： 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DC所在直線為x軸，以DA為直線為y軸，以DD₁所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則C（1，0，0），D₁（0，0，1），
設(shè)E（1，1，m），F(xiàn)（n，1，0），G（1，k，1），
則向量

CE

=(0，1，m)，

D1F

=(n，1，-1)，

D1G

=(1，k，0)，
所以

CE

⊥

D1F

?0×n+1×1+m×（-1）=0?m=1；

CE

⊥

D1G

?0×1+1×k+m×0=0?k=0，所以②③正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線的位置關(guān)系：垂直，應(yīng)用空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)之間的關(guān)系，是快速解題的關(guān)鍵，同學(xué)應(yīng)掌握，本題是一道中檔題．