Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x²，
（1）若a=，解關(guān)于x不等式；
（2）證明：關(guān)于x的方程2x²+2ax+1=0有兩相異解，且f（m）和f（n）分別是函數(shù)f（x）的極小值和極大值（m，n為該方程兩根，且m＞n）．

Answer 1

（1）解：a=時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)可得

=． 
f（x）的定義域?yàn)椋ī?IMG style="WIDTH: 9px; HEIGHT: 34px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120828/20120828201759114633.png">，+∞）．    
當(dāng)﹣＜x＜﹣1時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)﹣1＜x＜時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x＞時(shí)，f'（x）＞0．
從而，f（x）在（﹣，﹣1），（，+∞）單調(diào)增加，在（﹣1，）單調(diào)減少．
∵，f（）=
∴不等式等價(jià)于
∴
∴0≤x＜ln²2即所求不等式的解集為{x|0≤x＜ln²2}．
（2）證明：依題意，f（x）的定義域?yàn)椋ī乤，+∞），
令g（x）=2x²+2ax+1，因?yàn)間（﹣a）=1=g（0）＞0，
g（x）的對稱軸為x=﹣0.5a＞﹣a，△=4a²﹣8a＞0（a²＞2），g（﹣a）=1＞0
∴g（x）在（﹣a，+∞）有兩個(gè)零點(diǎn)．即方程2x²+2ax+1=0有兩相異解
由已知f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞﹣a}且，
若m，n（m＞n）方程2x²+2ax+1=0有兩相異解，則f'（x）＞0的解集為（﹣a，n）∪（m，+∞）（∵a＞0）