Question

已知{a_n}為等差數(shù)列，且a₂=-1，a₅=8．
（I）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和；
（II）求數(shù)列{2ⁿ•a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
因?yàn)閍₂=-1，a₅=8，所以

a1+d=-1 a1+4d=8

解得a₁=-4，d=3，…（2分）
所以a_n=-4+3（n-1）=3n-7，…（3分）
因此|an|=|3n-7|=

-3n+7，n=1，2 3n-7，n≥3

…（4分）
記數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為S_n，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=|a₁|=4，
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=|a₁|+|a₂|=5，
當(dāng)n≥3時(shí)，S_n=S₂+|a₃|+|a₄|+…+|a_n|=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）
=5+

(n-2)[2+(3n-7)]

2

=

3

2

n2-

11

2

n+10，
又當(dāng)n=2時(shí)滿足此式，
綜上，Sn=

4，n=1 3 2 n2- 11 2 n+10，n≥2

…（8分）
（II）記數(shù)列{2ⁿa_n}的前n項(xiàng)和為T_n，由（I）可知，a₁=-4，d=3，a_n=3n-7，
則Tn=2a1+22a2+23a3+…+2nan，①
2Tn=22a1+23a2+24a3+…+2nan-1+2n+1an，②
①-②可得-Tn=2a1+d(22+23+…+2n)-2n+1an
=-8+3×

22(1-2n-1)

1-2

-2ⁿ⁺¹（3n-7）
=-8+3（2ⁿ⁺¹-4）-2ⁿ⁺¹（3n-7）
=-20-（3n-10）2ⁿ⁺¹，
故T_n=20+（3n-10）2ⁿ⁺¹…（13分）