Question

已知函數(shù)f(x)＝x²－8lnx，g(x)＝－x²＋14x.

(1)求函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(a，a＋1)上均為增函數(shù)，求a的取值范圍；

(3)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，試求實數(shù)m的值．

Answer 1

(1)因為f′(x)＝2x－，所以切線的斜率k＝f′(1)＝－6.

又f(1)＝1，故所求的切線方程為y－1＝－6(x－1)．即y＝－6x＋7.

(2)因為f′(x)＝，

又x>0，所以當(dāng)x>2時，f′(x)>0；當(dāng)0<x<2時，f′(x)<0.

即f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減．

又g(x)＝－(x－7)²＋49，所以g(x)在(－∞，7)上單調(diào)遞增，在(7，＋∞)上單調(diào)遞減．

欲使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(a，a＋1)上均為增函數(shù)，則解得2≤a≤6.

(3)原方程等價于2x²－8lnx－14x＝m，

令h(x)＝2x²－8lnx－14x，則原方程即為h(x)＝m.

因為當(dāng)x>0時原方程有唯一解，所以函數(shù)y＝h(x)與y＝m的圖像在y軸右側(cè)有唯一的交點．

又h′(x)＝，且x>0，

所以當(dāng)x>4時，h′(x)>0；當(dāng)0<x<4時，h′(x)<0.

即h(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0,4)上單調(diào)遞減，故h(x)在x＝4處取得最小值，從而當(dāng)x>0時原方程有唯一解的充要條件是m＝h(4)＝－16ln2－24.