Question

已知a=1，a=

5

3

，a_n+2=

5

3

an+1-

2

3

an，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：由已知得a_n+2-a_n+1=

2

3

（a_n+1-a_n），構(gòu)造出等比數(shù)列{a_n+1-a_n}，通過(guò)數(shù)列{a_n+1-a_n}的通項(xiàng)公式利用累加法求解即可．

解答：解：由已知a_n+2=

5

3

an+1-

2

3

an，得a_n+2-a_n+1=

2

3

（a_n+1-a_n），
所以數(shù)列{a_n+1-a_n}是以

2

3

為公比的等比數(shù)列，且首項(xiàng)為a₂-a₁=

5

3

-1=

2

3

，
數(shù)列{a_n+1-a_n}的通項(xiàng)公式為a_n+1-a_n=

2

3

•

2

3

n-1=(

2

3

)n
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…（a_n-a_n-1）=1+

2

3

+(

2

3

)2…+(

2

3

)n-1=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=3[1-(

2

3

)n]，
又n=1時(shí)a₁=1，也符合上式，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3[1-(

2

3

)n]

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式，考查變形、構(gòu)造轉(zhuǎn)化，計(jì)算的方法與能力．