Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個(gè)函數(shù)：
①f（x）=x²-3x+4；
②f（x）=|2^x-1|；
③f（x）=cos

π

2

x；
④f（x）=e^x．
其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有

 

 （填出所有滿足條件的函數(shù)序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)的性質(zhì)，分別對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次進(jìn)行討論，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：對(duì)于①，f（x）=x²-3x+4是以x=

3

2

為對(duì)稱軸、開口向上的拋物線，
存在區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，
∴①不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
對(duì)于②，f（x）=|2^x-1|，
當(dāng)區(qū)間M=[-1，1]時(shí)，
最小值為f（-1）=-1且最大值為f（1）=1，
因此函數(shù)的值域?yàn)閇-1，1]=M，符合題意，
∴②存在“穩(wěn)定區(qū)間”；
對(duì)于③，f（x）=|2^x-1|，在區(qū)間[0，1]上的值域也是[0，1]，
∴②存在“穩(wěn)定區(qū)間”；
對(duì)于③，f（x）=cos

π

2

x，
∵函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù)，且f（0）=cos0=1，f（1）=cos

π

2

=0
∴當(dāng)區(qū)間M=[0，1]時(shí)，可得函數(shù)的值域?yàn)?M，
∴③存在“穩(wěn)定區(qū)間”；
對(duì)于④，因?yàn)閒（x）=e^x是R上的增函數(shù)，
且e^x＞x恒成立，故不存在區(qū)間M=[a，b]使得當(dāng)x∈M時(shí)值域恰好是M
∴④不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．