Question

（2012•天津）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2

3

，PD=CD=2．
（1）求異面直線PA與BC所成角的正切值；
（2）證明：平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）判斷∠PAD為異面直線PA與BC所成角，在Rt△PDA中，求異面直線PA與BC所成角的正切值；
（2）說(shuō)明AD⊥DC，通過(guò)AD⊥PD，CD∩PD=D，證明AD⊥平面PDC，然后證明平面PDC⊥平面ABCD．
（3）在平面PDC中，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，連接EB．說(shuō)明∠PBE為直線PB與平面ABCD所成角，求出PE，PB，在Rt△PEB中，通過(guò)sin∠PBE=

PE

PB

，求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值．

解答：（1）解：如圖，在四棱錐P-ABCD中，
因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以AD=BC，且AD∥BC，
又因?yàn)锳D⊥PD，
故∠PAD為異面直線PA與BC所成角，
在Rt△PDA中，tan∠PAD=

PD

AD

=2，
所以異面直線PA與BC所成角的正切值為：2．
（2）證明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥DC，
由于AD⊥PD，CD∩PD=D，
因此AD⊥平面PDC，而AD?平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．
（3）解：在平面PDC中，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，連接EB．
由于平面PDC⊥平面ABCD，
而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線，
故PE⊥平面ABCD．
由此得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成角，
在△PDC中，
由于PD=CD=2，PC=2

3

，可得∠PCD=30°，
在Rt△PEC中，PE=PCsin30°=

3

．
由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，
因此BC⊥PC．
在Rt△PCB中，PB=

PC2+BC2

=

13

．
在Rt△PEB中，sin∠PBE=

PE

PB

=

39

13

．
所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為

39

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力，計(jì)算能力．