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已知函數f（x）=loga
1-xb+x
（0＜a＜1）為奇函數，當x∈（-1，a）時，函數f（x）的值域是（-∞，1），則實數a+b的值為
 
．
分析：根據函數f（x）為奇函數，建立方程關系即可求出b，然后根據分式函數和對數函數的單調性建立條件關系即可求出a．
解答：解：∵函數f（x）=loga
1-x
b+x
（0＜a＜1）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
∴l(xiāng)oga
1-x
b+x
+loga
1+x
b-x
=loga
1-x
b+x
•
1+x
b-x
=0，
即
1-x
b+x
•
1+x
b-x
=1，
∴1-x2=b2-x2，
即b2=1，解得b=±1．
當b=-1時，函數f（x）=loga
1-x
b+x
=f（x）=loga
1-x
-1+x
=loga（-1）無意義，舍去．
當b=1時，函數f（x）=loga
1-x
b+x
=loga
1-x
1+x
為奇函數，滿足條件．
∵
1-x
1+x
=
-(1+x)+2
1+x
=-1+
2
1+x
，在（-1，+∞）上單調遞減．
又0＜a＜1，
∴函數f（x）=loga
1-x
1+x
在x∈（-1，a）上單調遞增，
∵當x∈（-1，a）時，函數f（x）的值域是（-∞，1），
∴f（a）=1，
即f（a）=loga
1-a
1+a
=1，
∴
1-a
1+a
=a，
即1-a=a+a2，
∴a2+2a-1=0，
解得a=
-2±
4+4
2
=
-2±2
2
2
=-1±
2
，
∵0＜a＜1，
∴a=
2
-1，
∴a+b=
2
-1+1=
2
，
故答案為：
2
．
點評：本題主要考查函數奇偶性的性質的應用，以及復合函數的單調性的應用，考查函數性質的綜合應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）記（2）中的函數圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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