如圖,斜率為1的直線過拋物線Ω:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,與拋物線交于兩點(diǎn)A,B,
(1)若|AB|=8,求拋物線Ω的方程;
(2)設(shè)C為拋物線弧AB上的動點(diǎn)(不包括A,B兩點(diǎn)),求△ABC的面積S的最大值;
(3)設(shè)P是拋物線Ω上異于A,B的任意一點(diǎn),直線PA,PB分別交拋物線的準(zhǔn)線于M,N兩點(diǎn),證明M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值(僅與p有關(guān))
分析:(1)由題意得出直線的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,再利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義即可求出其方程;
(2)當(dāng)過點(diǎn)C的切線與AB平行時(shí)三角形ABC的面積最大,求出弦長|AB|及兩平行線間的距離即可;
(3)根據(jù)點(diǎn)A、B、P在拋物線上可設(shè)出其坐標(biāo),利用點(diǎn)斜式分別寫出直線PA、PB的方程,進(jìn)而得出點(diǎn)M、N的坐標(biāo),再利用(1)的結(jié)論及根與系數(shù)的關(guān)系即可證明結(jié)論.
解答:解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
∵直線l斜率為1且過焦點(diǎn)F(
p
2
,0)
,∴直線l的方程為y=x-
p
2

聯(lián)立
y=x-
p
2
y2=2px
,消去y得到關(guān)于x的方程x2-3px+
p2
4
=0
,
由題意,△=9p2-p2>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=3p,x1x2=
p2
4

由拋物線的定義可得:|AB|=xx1+x2+p=4p,又|AB|=8,∴4p=8,∴p=2.
因此所求的拋物線方程為y2=4x.
(2)由題意可知:當(dāng)過點(diǎn)C的切線與AB平行時(shí)三角形ABC的面積最大,
設(shè)此切線為y=x+t,與拋物線方程聯(lián)立得
y=x+t
y2=2px
,消去y得到關(guān)于x的方程x2+(2t-2p)x+t2=0,
∴△=(2tt-2p)2-4t2=0,解得t=
p
2
,∴切線為y=x+
p
2

因此切線與直線AB的距離d=
|-
p
2
-
p
2
|
2
=
2
p
2

∴△ABC的最大面積=
1
2
×
2
p
2
×4p
=
2
p2

(3)設(shè)A(
y12
2p
y1)
,B(
y22
2p
y2)
,P(
y02
2p
,y0)

則直線PA的方程為y-y0=
y0-y1
y02
2p
-
y12
2p
(x-
y02
2p
)
,化為y-y0=
2p
y0+y1
(x-
y02
2p
)
,
x=-
p
2
,則yM=
y0y1-p2
y0+y1
,
同理可得yN=
y0y2-p2
y0+y2

∴yM•yN=
y02y1y2-p2y0(y1+y2)+p4
y02+y0(y1+y2)+y1y2
,
由(1)可得:y2-2py-p2=0,
∴y1+y2=2p,y1y2=-p2
∴yM•yN=
-y02p2-2p3y0+p4
y02+2py0-p2
=-p2為定值.
點(diǎn)評:熟練掌握直線的點(diǎn)斜式方程、拋物線的定義、直線與拋物線方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)后得到的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、切線的性質(zhì)及兩平行線間的距離是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,M為拋物線弧AB上的動點(diǎn).
(1)若|AB|=8,求拋物線的方程;
(2)求S△ABM的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,將直線AB按向量
a
=(-p,0)
平移得到直線l,N為l上的動點(diǎn),M為拋物線弧AB上的動點(diǎn).
(Ⅰ) 若|AB|=8,求拋物線方程.
(Ⅱ)求S△ABM的最大值.
(Ⅲ)求
NA
NB
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,將直線AB按向量
a
=(-p,0)
平移到直線l,N為l上的動點(diǎn).
(1)若|AB|=8,求拋物線的方程;
(2)求
NA
NB
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省棗莊市2010屆高三年級調(diào)研考試數(shù)學(xué)(文科)試題 題型:解答題

(本題滿分12分)

如圖,斜率為1的直線過拋物線的焦點(diǎn)F,與拋物線交于兩點(diǎn)AB。

   (1)若|AB|=8,求拋物線的方程;

   (2)設(shè)C為拋物線弧AB上的動點(diǎn)(不包括AB兩點(diǎn)),求的面積S的最大值;

   (3)設(shè)P是拋物線上異于A,B的任意一點(diǎn),直線PA,PB分別交拋物線的準(zhǔn)線于M,N兩點(diǎn),證明M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值(僅與p有關(guān))

 

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