有對稱中心的曲線叫做有心曲線,顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線. 過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑,（為研究方便,不妨設(shè)直徑所在直線的斜率存在）.

定理：過圓上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值－1．

    （Ⅰ）寫出該定理在橢圓中的推廣,并加以證明；

     （Ⅱ）寫出該定理在雙曲線中的推廣；你能從上述結(jié)論得到有心圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、圓）的一般性結(jié)論嗎？請寫出你的結(jié)論.

解：（Ⅰ）設(shè)直徑的兩個端點(diǎn)分別為A、B,由橢圓的對稱性可得,A、B關(guān)于中心O（0,0）對稱,所以A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（,B（.

P（上橢圓上任意一點(diǎn),顯然,

因?yàn)锳、B、P三點(diǎn)都在橢圓上,所以有

, ①

,  ②.

而,

由①－②得：.

所以該定理在橢圓中的推廣為：過橢圓上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值.

   （Ⅱ）在雙曲線中的推廣為：過雙曲線上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值

       該定理在有心圓錐曲線中的推廣應(yīng)為：過有心圓錐曲線上異于 直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值－

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線．過有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑（為研究方便，不妨設(shè)直徑所在直線的斜率存在）．
定理：過圓x2+y2=r2（r＞0）上異于某直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，與這條直徑的兩個端點(diǎn)連線，則兩條直線的斜率之積為定值-1．寫出該定理在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中的推廣（不必證明）：
過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上異于某直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，與這條直徑的兩個端點(diǎn)連線，則兩條連線的斜率之積為定值-
b2
a2
過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上異于某直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，與這條直徑的兩個端點(diǎn)連線，則兩條連線的斜率之積為定值-
b2
a2

．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，過有心曲線中心的弦叫做有心曲線的直徑．定理：如果圓x2+y2=r2（r＞0）上異于一條直徑兩個端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與這條直徑兩個端點(diǎn)連線的斜率存在，則這兩條直線的斜率乘積為定值-1．寫出該定理在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)中的推廣
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)上異于一條直徑兩個端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，與這條直徑兩個端點(diǎn)的連線的斜率乘積等于
b2
a2
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)上異于一條直徑兩個端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，與這條直徑兩個端點(diǎn)的連線的斜率乘積等于
b2
a2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，過有心曲線中心的弦叫做有心曲線的直徑．定理：如果圓x2+y2=r2（r＞0）上異于一條直徑兩個端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與這條直徑兩個端點(diǎn)連線的斜率存在，則這兩條直線的斜率乘積為定值-1．寫出該定理在有心曲線
x2
m
+
y2
n
=1(mn≠0)中的推廣
x2
m
+
y2
n
=1(mn≠0)上異于一條直徑兩個端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，與這條直徑兩個端點(diǎn)的連線斜率乘積等于-
n
m
x2
m
+
y2
n
=1(mn≠0)上異于一條直徑兩個端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，與這條直徑兩個端點(diǎn)的連線斜率乘積等于-
n
m
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三第三次模擬理科數(shù)學(xué)試題 題型：填空題

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，過有心曲線中心的弦叫做有心曲線的直徑。定理：如果圓上異于一條直徑兩個端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與這條直徑兩個端點(diǎn)連線的斜率存在，則這兩條直線的斜率乘積為定值-1。寫出該定理在有心曲線中的推廣            。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有對稱中心的曲線叫做有心曲線，過有心曲線中心的弦叫做有心曲線的直徑。定理：如果圓上異于一條直徑兩個端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與這條直徑兩個端點(diǎn)連線的斜率存在，則這兩條直線的斜率乘積為定值-1。寫出該定理在有心曲線中的推廣

                。

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