Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

，求函數(shù)f（x）的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）f（x）的定義域是各部分定義域的交集．
（2）研究f（x）的奇偶性，先看定義域是否關(guān)于原點對稱，定義域關(guān)于原點對稱時再看f（-x）與f（x）的關(guān)系．
（3）先看f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，由函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而可得f（x）在（-1，0）內(nèi)的單調(diào)性與在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性一致．

解答：解：（1）x須滿足

x≠0 1+x 1-x ＞0

，
由

1+x

1-x

＞0得-1＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）的定義域為（-1，0）∪（0，1）．
（2） 因為函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，
且對定義域內(nèi)的任意x，
有f(-x)=-

1

x

-log2

1-x

1+x

=-(

1

x

-log2

1+x

1-x

)=-f(x)，
所以f（x）是奇函數(shù)．
研究f（x）在（0，1）內(nèi)的單調(diào)性，
任取x₁、x₂∈（0，1），且設(shè)x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

1

x1

-log2

1+x1

1-x1

-

1

x2

+log2

1+x2

1-x2

=(

1

x1

-

1

x2

)+[log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)]
由

1

x1

-

1

x2

＞0，log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)＞0，
得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
由于f（x）是奇函數(shù)，所以f（x）在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減．

點評：本題考查函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性．