Question

乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，比賽采用7局4勝制（即先勝4局者獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同．
（1）求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率；
（2）求比賽局?jǐn)?shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局，分為乙獲勝需要打6局或7局，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及互斥事件的概率計(jì)算公式即可．
（2）利用二項(xiàng)分布、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及互斥事件的概率計(jì)算公式即可．

解答：解：（1）∵兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同，∴P（甲）=P（乙）=

1

2

．
∵乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局，∴乙獲勝需要打6局或7局．
①乙獲勝需要打6局時(shí)，乙在前5局中只贏了3局，其概率P6=

C

3 5

(

1

2

)3(

1

2

)2×

1

2

=

10

26

；
②乙獲勝需要打7局時(shí)，乙在前6局中只贏了3局，其概率P₇=

C

3 6

(

1

2

)3(

1

2

)3×

1

2

=

20

27

．
根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算公式乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率=P₆+P₇=

10

26

+

20

27

=

5

16

；
（2）P（X=4）=(

1

2

)4+(

1

2

)4=

1

23

；
P（X=5）=2

C

3 4

(

1

2

)3×

1

2

×

1

2

=

1

22

；
P（X=6）=2P₆=2×

10

26

=

5

24

；
P（X=7）=2P₇=2×

20

27

=

5

24

．
其分步列如下表：
∴E（X）=4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及互斥事件的概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．