Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，側(cè)面PAD與底面ABCD垂直，E為PA的中點．
（1）求證：CD⊥PA；
（2）求證：DE∥平面PBC．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明DE∥平面PBC

解答： 證明：（1）∵AD⊥AB，CD∥AB，
∴CD⊥AD…（2分）
又∵側(cè)面PAD與底面ABCD垂直且交線為AD，
∴CD垂直側(cè)面PAD…（4分）
又∵PA?平面PAD∴CD⊥PA…（6分）
（2）如圖，取AB的中點F，連結(jié)DF，EF，
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，
∴BF∥CD，且BF=CD，
則四邊形BCDF為平行四邊形，
則DF∥BC，
∵BC?平面PBC，DF?平面PBC，
∴DF∥平面PBC．
在△PAB中，PE=EA，AF=FB，
∴EF∥PB．…（9分）
又∵PB?平面PBC，EF?平面PBC
∴EF∥平面PBC．
又∵DFEF=F，
∴平面DEF∥平面PBC．…（11分）
∵DE?平面DEF，
∴DE∥平面PBC．…（12分）
證法二：取PB的中點M，邊CM，EM
在△PAB中，PE=EA，PM=MB，
∴EM∥AB，EM=

1

2

AB…（8分）
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，
∴CD=

1

2

AB，CD∥AB
∴EM

∥ .

.

CD…（9分）
∴四邊形CDEM為平行四邊形，
∴DE∥CM．…（10分）
又∵CM?平面PBC，DE?平面PBC
∴DE∥平面PBC…（12分）

點評：本題主要考查空間直線和平面平行的判定以及線面垂直的性質(zhì)，要求熟練掌握相應的判定定理和性質(zhì)定理．