Question

18．定圓M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，動圓N過點F（$\sqrt{3}$，0）且與圓M相切，記圓心N的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）設直線x=ny+1與E交于P，Q兩點，點P關于x軸的對稱點為P₁（P₁與Q不重合），則直線P₁Q與x軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以點N的軌跡為橢圓，2a=4，c=$\sqrt{3}$，進而得到橢圓方程；
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，設出P，Q的坐標，則P₁的坐標可推斷出，利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進而可表示出P1Q的直線方程，把y=0代入求得x的表達式，把x₁=ny₁+1，x₂=ny₂+1代入求得x=4，進而可推斷出直線P₁Q與x軸交于定點（4，0）．

解答 解：（1）因為點F（$\sqrt{3}$，0）在圓M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16內(nèi)，
所以圓N內(nèi)切于圓M，
因為|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以點N的軌跡為橢圓，
且2a=4，c=$\sqrt{3}$，所以b=1，所以軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）由直線x=ny+1與E，得（ny+1）²+4y²=4，即（n²+4）y²+2ny-3=0，n≠0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則P₁（x₁，-y₁），
且y₁+y₂=-$\frac{2n}{4+{n}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{n}^{2}}$，
經(jīng)過點P₁（x₁，-y₁），Q（x₂，y₂）的直線方程為$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
令y=0，則x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又x₁=ny₁+1，x₂=ny₂+1．
當y=0時，x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2n{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+1=3+1=4．
這說明，直線P₁Q與x軸交于定點（4，0）．

點評 本題主要考查了橢圓的標準方程的求法，注意運用方程的思想，考查直線與橢圓的位置關系，注意運用聯(lián)立直線和橢圓方程，運用韋達定理和直線恒過定點，考查了學生基礎知識的綜合運用，屬于中檔題．