Question

20．已知P（1，1）為橢圓2x²+y²=4內(nèi)一定點，過P引一條弦，使此弦以P為中點，則弦所在的直線方程2x+y-3=0．

Answer 1

分析 方法一：設A和B點坐標，代入橢圓方程，作差，根據(jù)直線的斜率公式，即可求得直線的斜率，利用點差法即可求得直線AB的方程；
方法二：設A（1+m，1+n），B（1-m，1-n），代入橢圓方程，作差，求得2m+n=0，AB的斜率k=$\frac{n}{m}$=-2，利用點差法即可求得直線AB的方程；

解答 解：方法一：設此弦的端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則2x₁²+y₁²=4，2x₂²+y₂²=4，相減可得：2（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
∴2（x₁-x₂）+（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-2，
∴此弦所在的直線方程為y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．
故答案為：2x+y-3=0．
方法二：設以P（1，1）為中點的弦與橢圓交于A（1+m，1+n），B（1-m，1-n），
∴2（1+m）²+（1+n）²=4，2（1-m）²+（1-n）²=4，
兩式相減得：2×2×2m+2×2n=0，則2m+n=0，
則AB的斜率k=$\frac{n}{m}$=-2，
此弦所在的直線方程為y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．
故答案為：2x+y-3=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、中點坐標公式與斜率計算公式、“點差法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．