Question

（1）證明對(duì)數(shù)的換底公式：logaN=

logcN

logca

（其中a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1）．
（2）設(shè)a，b均為不等于1的正數(shù)，證明：loganbm=

m

n

logab(m∈R， n∈R， n≠0)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)log_aN=b，則a^b=N，兩端同時(shí)取以c為底的對(duì)數(shù)，整理即可證得結(jié)論；
（2）利用（1）中的換底公式即可證得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1，
設(shè)log_aN=b，
則a^b=N，
∴l(xiāng)og_cN=logcab=blog_ca，
∴

logcN

logca

=

blogca

logca

=b，
∴l(xiāng)og_aN=

logcN

logca

；
（2）∵a，b均為不等于1的正數(shù)，
由換底公式得，loganbm=

logabm

logaan

∴loganbm=

mlogab

nlogaa

=

m

n

log_ab．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)換底公式的證明與應(yīng)用，利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化是證明換底公式的基礎(chǔ)，考查推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．