Question

【題目】在四棱錐中，.

（1）設(shè)與相交于點(diǎn)，，且平面，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，且，求二面角 的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可得．結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理可得 ．

（2）由幾何關(guān)系可得平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為 ．據(jù)此可得，則二面角 的正弦值為.

詳解：（1）因?yàn)?/span>,所以．

因?yàn)?/span>，平面，平面平面，

所以．

所以，即．

（2）因?yàn)?/span>,可知為等邊三角形，

所以，又，

故，所有．

由已知，所以平面，

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，

所以，則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有

即

設(shè)，則，所以，　

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由已知可得

即　

令，則，所以 ．　

所以，

設(shè)二面角的平面角為，則．