Question

直線y=x+b（b≠0）交拋物線y=

1

2

x2于A、B兩點(diǎn)，
（1）求拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線；
（2）O為拋物線的頂點(diǎn)，

OA

•

OB

=0，則b值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程求出p，再由求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2））設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立直線和拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后，利用根與系數(shù)關(guān)系得x₁+x₂和x₁x₂，由數(shù)量積的運(yùn)算列出關(guān)于b的方程，代入坐標(biāo)的和與積后求解b的值，再驗(yàn)證△＞0成立．

解答： 解：（1）由y=

1

2

x2得，x²=2y，則p=1，
所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，

1

2

），準(zhǔn)線方程是y=-

1

2

；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=x+b x2=2y

得，x²-2x-2b=0，
則△（-2）²-4×（-2b）=4+8b＞0，
且x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b，
因?yàn)?span id="zrbnhrb" class="MathJye">

OA

•

OB

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0
2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
所以2×（-2b）+2b+b²=0，即-2b+b²=0，
因?yàn)閎≠0，所以b=2，滿足△=4+8×2=20＞0．
所以b值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系，向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，是中檔題．