Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，點M在線段PC上，且PM=2MC，N為AD的中點．
（1）求證：AD⊥平面PNB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P-NBM的體積．

Answer 1

分析 （1）由N為AD的中點及PA=PD可得PN⊥AD，在底面菱形中結(jié)合已知條件證得AD⊥BN，然后由線面垂直的判斷得到AD⊥平面PNB；
（2）由平面PAD⊥平面ABCD結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得到PN⊥NB，再由已知求得PN=NB=$\sqrt{3}$，把三棱錐P-NBM的體積轉(zhuǎn)化為$\frac{2}{3}$倍的三棱錐C-PNB的體積求解．

解答 （1）證明：如圖，
∵PA=PD，N為AD的中點，∴PN⊥AD
∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BN⊥AD
∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，
∴PN⊥平面ABCD，
∵PN⊥NB，PA=PD=AD=2，
∴PN=NB=$\sqrt{3}$，點到P平面ABCD的距離為$\sqrt{3}$．
∴${S}_{△PNB}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}=\frac{3}{2}$．
∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB．
∵PM=2MC，∴${V}_{P-NBM}={V}_{M-PNB}=\frac{2}{3}{V}_{C-PNB}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×2=\frac{2}{3}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．