已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）若直線l不過點(diǎn)M，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形．
解：（1）設(shè)橢圓的方程為，
∵橢圓的離心率為，
∴a2=4b2，
又∵M(jìn)（4，1），
∴，
解得b2=5，a2=20，
故橢圓方程為
（2）將y=x+m代入
并整理得5x2+8mx+4m2﹣20=0，
∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B
∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，
解得﹣5＜m＜5
（3）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1和k2，只要證明k1+k2=0．
設(shè)A（，），B（x2，y2），
根據(jù)（2）中的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得：．

上式的分子=（+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（﹣4）
=2x2+（m﹣5）（+x2）﹣8（m﹣1）
=
所以k1+k2=0，得直線MA，MB的傾斜角互補(bǔ)
∴直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
2
2
，且橢圓經(jīng)過圓C：x2+y2-4x+2
2
y=0的圓心C．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l過橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
1011
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，左焦點(diǎn)為F1（-3，0），右準(zhǔn)線方程為x=
253
．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e；
（2）設(shè)P為橢圓上第一象限的點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若△PF1F2為直角三角形，求△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且橢圓過點(diǎn)P（3，2），焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F1（0，-2
2
），且離心率e滿足：
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列．
（1）求橢圓方程；
（2）直線y=x+1與橢圓交于點(diǎn)A，B．求△AOB的面積．

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