Question

設(shè)f（x）=log

1

2

1-ax

x-1

為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值；并判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若對于區(qū)間（3，4）上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞(

1

2

)x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱可求得a值，根據(jù)單調(diào)性的定義及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法可判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）不等式f（x）＞(

1

2

)x+m恒成立，等價(jià)于f（x）-(

1

2

)x＞m恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-(

1

2

)x，x∈（3，4），轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）在（3，4）上的最值問題即可解決．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
由

1-ax

x-1

＞0，得（x-1）（1-ax）＞0．
令（x-1）（1-ax）=0，得x₁=1，x₂=

1

a

，∴

1

a

=-1，解得a=-1．
令u（x）=

1+x

x-1

=1+

2

x-1

，設(shè)任意x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（1，+∞），
則u（x₁）-u（x₂）=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴u（x₁）-u（x₂）＞0，即u（x₁）＞u（x₂）．
∴u（x）=1+

2

x-1

（x＞1）是減函數(shù)，
又y=log

1

2

u為減函數(shù)，
∴f（x）=log

1

2

x+1

x-1

在（1，+∞）上為增函數(shù)．
（2）由題意知log

1

2

x+1

x-1

-(

1

2

)x＞m，x∈（3，4）時(shí)恒成立，
令g（x）=log

1

2

x+1

x-1

-(

1

2

)x，x∈（3，4），由（1）知log

1

2

x+1

x-1

在[3，4]上為增函數(shù)，
又-(

1

2

)x在（3，4）上也是增函數(shù)，故g（x）在（3，4）上為增函數(shù)，
∴g（x）的最小值為g（3）=log

1

2

2-(

1

2

)3=-

9

8

，
∴m≤-

9

8

，故實(shí)數(shù)m的范圍是（-∞，-

9

8

]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及函數(shù)恒成立問題，奇偶性、單調(diào)性問題常用定義解決，而函數(shù)恒成立問題則常轉(zhuǎn)化為最值問題處理．