Question

已知橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），P是此橢圓上的一點(diǎn)，且，．
（1）求橢圓M的方程；
（2）點(diǎn)A是橢圓M短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)大于零，B、C是橢圓上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，若△ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，求直線BC的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)||=m，，
由，
∴，c=1，b=2，
∴．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（0，2），
由重心公式，得，
∴線段BC的中點(diǎn)為D（），
將點(diǎn)B，C代入橢圓方程，再相減，
得，
∴，
由點(diǎn)斜式得6x-5y-14=0．
分析：（1）設(shè)||=m，，由，能求出橢圓M的方程．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（0，2），由重心公式，得，由此能求出直線BC的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．