(2006•重慶一模)已知函數(shù)f(x)=a(2cos2
x2
+sinx)+b

(I)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)a<0且x∈[0,π]時(shí),函數(shù)f (x)的值域是[3,4],求a+b的值.
分析:把函數(shù)解析式括號(hào)中的第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù),
(I)把a(bǔ)=1代入化簡(jiǎn)后的函數(shù)解析式中,根據(jù)正弦函數(shù)在[2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
]時(shí)單調(diào)遞增,列出關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)由x的范圍,求出這個(gè)角的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域,根據(jù)a小于0,由正弦函數(shù)的最大值及最小值表示出函數(shù)的最大值及最小值,得到關(guān)于a與b的方程組,求出方程組的解集得到a與b的值,進(jìn)而求出a+b的值.
解答:解:f(x)=a(2cos2
x
2
+sinx)+b

=a(cosx+1+sinx)+b
=
2
asin(x+
π
4
)+a+b,(2分)
(I)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=
2
asin(x+
π
4
)+1+b,
∴當(dāng)2kπ-
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)時(shí),f(x)是增函數(shù),
解得:2kπ-
3
4
≤x≤2kπ+
π
4
(k∈Z),
則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-
4
,2kπ+
π
4
](k∈Z);(7分)
(II)由0≤x≤π,得到
π
4
≤x+
π
4
4
,
∴-
2
2
≤sin(x+
π
4
)≤1,(9分)
∵a<0,∴當(dāng)sin(x+
π
4
)=1時(shí),f(x)取最小值,即
2
a+a+b=3①,
當(dāng)sin(x+
π
4
)=-
2
2
時(shí),f(x)取最大值4,即b=4,
將b=4代入①式,解得a=1-
2
,
則a+b=5-
2
.(13分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的定義域與值域,以及正弦函數(shù)的單調(diào)性,利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.
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(2006•重慶一模)已知f (x)=log2x,則函數(shù)y=f-1(1-x)的大致圖象是( 。

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(2006•重慶一模)設(shè)兩個(gè)非零向量
b
=(
x
x-2
,
1
x-2
)
c
=(x-a+1,a-4)
,解關(guān)于x的不等式
b
c
>2
(其中a>1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•重慶一模)已知函數(shù)f(x)=|1-
1x
|

(I)是否存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f (x)的定義域和值域都是[a,b].若存在,求出a,b的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(II)若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f (x)的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇ma,mb](m≠0).求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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