Question

已知函數(shù)f（x）=（a≥0），f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象與x軸交點為A，曲線y=f（x）在A點處的切線方程是y=3x-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=e^-ax•f′（x），求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)曲線y=f（x）在A點處的切線方程是y=3x-3，建立關(guān)于a和b的方程組，解之即可；
（II）先求出函數(shù)g（x）的解析式，然后討論a的正負，利用導(dǎo)數(shù)的符號研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（a≥0），
∴f'（x）=x²+ax+1．（1分）
∵f（x）在（1，0）處切線方程為y=3x-3，
∴，（3分）
∴a=1，b=-．（各1分）（5分）
（Ⅱ）g（x）=e^-ax•f′（x）=，x∈R．
g'（x）=-x[ax+（a²-2）e^-ax]．（7分）
①當(dāng)a=0時，g'（x）=2x，

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
g'（x）	-		+
g（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（-∞，0）．（9分）
②當(dāng)a＞0時，令g'（x）=0，得x=0或x=（10分）
（�。┊�(dāng)＞0，即0＜a＜時，

x	（-∞，0）		（0，）		（，+∞）
g'（x）	-		+		-
g（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間（-∞，0），（-，+∞）；（11分）
（ⅱ）當(dāng)=0，即a=時，g'（x）=-2x²e^-2x≤0，
故g（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞減；（12分）
（ⅲ）當(dāng)＜0，即a＞時，

x	（-∞，）		（，0）		（0，+∞）
g'（x）	-		+		-
g（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

g（x）在（，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞），（-∞，）上單調(diào)遞（13分）
綜上所述，當(dāng)a=0時，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（-∞，0）；
當(dāng)0＜a＜時，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），
當(dāng)a=時，g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)a＞時，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞），（-∞，）．（“綜上所述”要求一定要寫出來）
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查分類討論的思想，計算能力，屬于中檔題．