Question

18．已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)，求a的取值范圍
（3）若x∈[t，t+2]，試求y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）可得對稱軸為x=1，可設(shè)f（x）=a（x-1）²+1，由f（0）=3，求出a的值即可；
（2）f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)，則2a＜1＜a+1，解得即可；
（3）通過討論t的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值．

解答 解（1）由已知，f（0）=f（2）=3，可得對稱軸為x=1，
則函數(shù)的定點坐標為（1，1），
設(shè)f（x）=a（x-1）²+1，a＞0，由f（0）=3，得a=2，
故f（x）=2x²-4x+3．
（2）因為函數(shù)的對稱軸為1，f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)
對稱軸在區(qū)間[2a，a+1]內(nèi)，即2a＜1＜a+1，
解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．  
（3）當(dāng)t≥1時，函數(shù)f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（t）=2t²-4t+3．
當(dāng)t＜1＜t+2時，即-1＜t＜1時，f（x）_min=1，
當(dāng)t+2≤1時，即t≤-1時，函數(shù)f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（t+2）=2t²+4t+5，
綜上所述y=f（x）_min=g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2{t}^{2}-4t+3，t≥1}\\{1，-1＜t＜1}\\{2{t}^{2}+4t+5，t≤-1}\end{array}\right.$

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，同考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．