Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，作AA₁⊥BC，A₁A₂⊥AB，A₂A₃⊥BC，A₃A₄⊥AB，A₄A₅⊥BC，A₅A₆⊥AB，A₆A₇⊥BC，A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，A₇分別為垂足：
（1）△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇的周長(zhǎng)和面積是否分別成等比數(shù)列？試給出證明．
（2）若AB=4，BC=5，分別求出（1）題中4個(gè)三角形的周長(zhǎng)和△A₁A₂A₃的面積．
（3）如果把題設(shè)中的作法一直進(jìn)行下去，并把所得類同于（1）題中的4個(gè)三角形的所有三角形的面積從大到小排成一個(gè)數(shù)列{S_n}，設(shè)AB=c，AC=b，求{S_n}的通項(xiàng)公式和△A₁₁A₁₂A₁₃的面積．

Answer 1

分析：（1）要證明）△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇的周長(zhǎng)和面積是否分別成等比數(shù)列，可以先證明它們依次兩兩為相似三角形，且相似比相等．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合勾股定理和射影定理依次求解；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由通項(xiàng)公式，進(jìn)行解答．

解答：解：（1）設(shè)AB=c，AC=b，BC=a
由射影定理易得：AA₁=

bc

a

故：

AA1

AC

=

c

a

同理可證明：

A1A2

AA1

=

c

a

依此類推下去，我們可以得到：

AA1

AC

=

A1A2

AA1

=

A2A3

A1A2

=…=

AnAn+1

An-1An

=

c

a

則△CAA₁∽△A₁A₂A₃，△A₁A₂A₃∽△A₃A₄A₅，△A₃A₄A₅∽△A₅A₆A₇，…且相似比均為

c

a

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方，我們可得：
①△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的周長(zhǎng)成公比為

c

a

的等比數(shù)列；
②△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的面積成公比為(

c

a

)2的等比數(shù)列．
（2）若AB=4，BC=5，則AC=3，則△ABC的周長(zhǎng)為12，面積為6
此時(shí)，△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的周長(zhǎng)成公比為

4

5

的等比數(shù)列；
則：△CAA₁的周長(zhǎng)為

48

5

，△A₁A₂A₃的周長(zhǎng)為

192

25

，△A₃A₄A₅的周長(zhǎng)為

768

125

，△A₅A₆A₇的周長(zhǎng)為

3072

625

又∵△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的面積成公比為

16

25

的等比數(shù)列
則：△CAA₁的面積為

96

25

（3）AB=c，AC=b，則S₁=S_△CAA1=

1

2

bc，公比q=

c

b2+c2

則：Sn=

1

2

bc（

c

b2+c2

）^n-1
當(dāng)n=12時(shí)，S₁₂=S_△A11A12A13=

1

2

bc（

c

b2+c2

）¹¹

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是相似的性質(zhì)及數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)相似三角形中，對(duì)應(yīng)線長(zhǎng)度之比等于相似比，對(duì)應(yīng)面積之比等于相似比的平方，是解決本題的核心知識(shí)點(diǎn)．