已知函數(shù)f（x）=x2+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上為單調遞增函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若g（x）=e2x-2aex+a，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．
分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=x2+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上為單調遞增函數(shù)，構建不等式，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）利用換元法，轉化為二次函數(shù)求最值，利用配方法可得結論．
解答：解：（Ⅰ）求導函數(shù)可得f′（x）=2x+
2
x
+（a-6）
∵函數(shù)f（x）=x2+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上為單調遞增函數(shù)，
∴f′（x）=2x+
2
x
+（a-6）≥0，即a-6≥-（2x+
2
x
）在（1，+∞）上恒成立
∴a-6≥-4，
∴a≥2；
（Ⅱ）令t=ex，則∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]
∴y=t2-2at+a=（t-a）2-a2+a
∴a＜1時，ymin=g（1）=1-a；1≤a≤3時，ymin=g（a）=-a2+a；a＞3時，ymin=g（3）=9-5a．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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