Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線為L，焦點(diǎn)為F，⊙M的圓心在y軸的正半軸上，且與x軸相切，過原點(diǎn)作傾斜角為

π

6

的直線n，交L于點(diǎn)A，交⊙M于另一點(diǎn)B，且|AO|=|OB|=2
（Ⅰ）求⊙M和拋物線C的方程；
（Ⅱ）過L上的動(dòng)點(diǎn)Q作⊙M的切線，切點(diǎn)為S、T，求當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線ST的距離取得最大值時(shí)，四邊形QSMT的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）畫出圖形，設(shè)準(zhǔn)線交y軸于N，在直角三角形ANO中，結(jié)合已知條件求出|ON|即p的值，則拋物線方程可求，在三角形MOB中，由三角形為正三角形得到|OM|的值，從而求得圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩條切線的方程，進(jìn)一步得到ST所在直線方程，寫出原點(diǎn)到ST的距離，分析可知當(dāng)a=0時(shí)即Q在y軸上時(shí)原點(diǎn)到ST的距離最大，由此求出ST與MQ的長度，則四邊形QSMT的面積可求．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，

設(shè)準(zhǔn)線L交y軸于N(0，-

p

2

)，在Rt△OAN中，∠OAN=

π

6

，
∴|ON|=

|OA|

2

=1，
∴p=2，則拋物線方程是x²=4y；
在△OMB中有OM=OB，∠MOB=

π

3

，
∴OM=OB=2，
∴⊙M方程是：x²+（y-2）²=4；
（Ⅱ）設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），Q（a，-1）
∴切線SQ：x₁x+（y₁-2）（y-2）=4；切線TQ：x₂x+（y₂-2）（y-2）=4，
∵SQ和TQ交于Q點(diǎn)，
∴ax₁-3（y₁-2）=4和ax₂-3（y₂-2）=4成立，
∴ST方程：ax-3y+2=0．
∴原點(diǎn)到ST距離d=

2

a2+9

，當(dāng)a=0，即Q在y軸上時(shí)d有最大值．
此時(shí)直線ST方程是y=

2

3

．
代入x²+（y-2）²=4，得x=±

2 5

3

．
∴|ST|=

4 5

3

，|MQ|=3．
此時(shí)四邊形QSMT的面積S=

1

2

×

4 5

3

×3=2

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題，其中涉及到拋物線以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了圓的切線方程的求法及過圓切點(diǎn)的直線方程的求法，綜合考查了學(xué)生分析問題的能力和基礎(chǔ)的運(yùn)算能力，是有一定難度題目．