設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知Sn=2an+2,a1=-2
(1)證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列
(2)數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn+1=bn+
13
an
,求數(shù)列{bn}的通項公式
(3)數(shù)列{cn}滿足cn=log2(5-3bn),求數(shù)列{cn•an}的前n項和Tn
分析:(1)Sn=2an+2,Sn-1=2an-1+2,(n≥2),兩式相減并整理得an=2an-1,由此證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2)由(1)得知an=-2•2n-1=-2n,bn+1-bn=
1
3
an
=-
1
3
•2n,用疊加法求數(shù)列{bn}的通項公式.
(3)數(shù)列{cn}滿足cn=log2(5-3bn)=n.cn•an=-n•2n,利用錯位相消法求和.
解答:解:(1)Sn=2an+2,Sn-1=2an-1+2,(n≥2),兩式相減并整理得an=2an-1,(n≥2),
由a1=-2≠0,所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列
(2)由(1)得知,數(shù)列{an}公比為2,其通項公式為an=-2•2n-1=-2n
所以bn+1-bn=
1
3
an
=-
1
3
•2n,
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=-
1
3
•(2n-1+2n-2+…+21)+1
=-
1
3
2(1-2n-1)
1-2
+1
=-
1
3
2n+
5
3

(3)cn=log2(5-3bn)=n,cn•an=-n•2n
∴Tn=-(1×21+2×22+…n×2n
∴2Tn=-(1×22+2×23+…n×2n+1
兩式相減得出
-Tn=-(2+22+23+…+2n)+n•2n+1
=-
2(1-2n)
1-2
+n•2n+1
=2-(1-n)•2n+1
Tn=(1-n)•2n+1-2
點評:本題考查數(shù)列性質(zhì)的判定,通項公式求解,疊加法、錯位相消法在數(shù)列中的應(yīng)用.均屬于數(shù)列中重要而又基本的知識和能力要求.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項的和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列an的前n項的和為Sn,a1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項公式;
(3)設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn,若Dn內(nèi)的整點(整點即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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