Question

下列命題
①若兩直線平行，則兩直線斜率相等．
②動(dòng)點(diǎn)M至兩定點(diǎn)A、B的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1）．則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓．
③若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率  e=

2

2

，則  b=c  (c為半焦距)．
④雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b．
⑤已知拋物線y²=2px上兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且OA⊥OB（O為原點(diǎn)），則y₁y₂=-p²．
其中正確命題的序號(hào)是

②③④

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：對(duì)于①，當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，不正確；對(duì)于②，通過(guò)建立坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程判斷出正確；利用橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系判斷出③對(duì)；對(duì)于④，據(jù)雙曲線的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷出正確；對(duì)于⑤，利用向量垂直的充要條件判斷出其錯(cuò)．

解答：解：對(duì)于①，當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，不正確；
對(duì)于②，以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)M（x，y），A（-a，0），B（a，0），則有

y2+(x+a)2

y2+(x-a)2

=λ化簡(jiǎn)得（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+（2a+2aλ²）x+a²-a²λ²=0，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓，正確
對(duì)于③，e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

，所以a²=2c²，所以橢圓中有b²=a²-c²=c²，所以b=c，所以③對(duì)；
對(duì)于④，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c，0），漸近線的方程為：y=±

b

a

x，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到距離=

bc

a2+b2

=b．所以④正確；
對(duì)于⑤，因?yàn)镺A⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，又因?yàn)閥²=2px，所以y12=2px1，y22=2px2，所以y₁y₂=-4p²．不正確
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用曲線的方程判斷曲線的形狀；考查橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系；考查雙曲線中漸近線的方程，屬于一道綜合題．