Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，a₃與a₅的等比中項為2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，當最大時，求n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)把a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25轉(zhuǎn)化為a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，求出a₃+a₅=5，再利用a₃與a₅的等比中項為2即可首項和公比，進而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）先利用（1）求出數(shù)列{b_n}的通項公式以及前n項和為S_n，，進而得到的通項，即可求出當最大時，對應n的值．
解答：解：（1）因為a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，所以，a₃²+2a₃a₅+a₅²=25
又a_n＞o，a₃+a₅=5，（3分）
又a₃與a₅的等比中項為2，所以，a₃a₅=4
而q∈（0，1），所以，a₃＞a₅，所以，a₃=4，a₅=1，q=，a₁=16，
所以，a_n=16×=2^5-n（6分）
（2）b_n=log₂a_n=5-n，所以，b_n+1-b_n=-1，
所以，{b_n}是以4為首項，-1為公差的等差數(shù)列（8分）
所以s_n=⇒=（10分）
所以，當n≤8時，＞0，
當n=9時，=0，
n＞9時，＜0，
當n=8或9時，最大． （13分）
點評：本題第一問考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查方程思想在解決數(shù)列問題中的應用．在等差數(shù)列、等比數(shù)列問題中基本量是解題的關(guān)鍵，一般是根據(jù)已知條件把基本量求出來，然后在解決問題．