已知△ABC中，
AB
=
c
，
BC
=
a
、
CA
=
b
，若
a
•
b
=
b
•
c
，且
c
•
b
+
c
2=0，則△ABC的形狀是
等腰直角三角形
等腰直角三角形
．
分析：由
a
•
b
=
b
•
c
，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義可得|
a
|•cosC=|
c
|cosA，再由余弦定理可得a=c，故三角形為等腰三角形．再由
c
•
b
+
c
2=0 可得，
c
⊥
a
，△ABC也是直角三角形，綜合可得結(jié)論．
解答：解：∵△ABC中，
AB
=
c
，
BC
=
a
、
CA
=
b
，又∵
a
•
b
=
b
•
c
，
∴|
a
|•|
b
|•cos（π-C）=|
b
|•|
c
|•cos（π-A），化簡(jiǎn)可得|
a
|•cosC=|
c
|cosA．
設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c，再把余弦定理代入可得a•
a2+b2-c2
2ab
=c•
c2+b2-a2
2bc
．
化簡(jiǎn)可得 a2=c2，a=c，故三角形為等腰三角形．
再由
c
•
b
+
c
2=0 可得
b
•（
c
+
b
）=
c
•（-
a
）=0，∴
c
•
a
=0，∴
c
⊥
a
．
即 B=90°，∴△ABC也是直角三角形．
故答案為 等腰直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，兩個(gè)向量垂直的條件，判斷三角形的形狀的方法，注意兩個(gè)向量的
夾角的值，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，AC=3
2
，則△ABC的面積為
6
6
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•遼寧）選修4-1：幾何證明講
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧
AC
上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長(zhǎng)BD至E．
（1）求證：AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC邊上的高為2+
3
，求△ABC外接圓的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•大連一模）已知△ABC中，AB=2，AC=
3
，∠B=60°，則∠A的度數(shù)為
30°
30°
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義平面向量的正弦積為
a
•
b
=|
a
||
b
|sin2θ，（其中θ為
a
、
b
的夾角），已知△ABC中，
AB
•
BC
=
BC
•
CA
，則此三角形一定是（　�。�
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、銳角三角形
D、鈍角三角形

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案