Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=l，S_n=（2ⁿ-1）a_n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）記T_n=n×a_l+（a-1）a₂+（n-2）a₃+…+2×a_n-1+l×a_n（n∈N^*），求T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，化簡可得數(shù)列{a_n}是以1為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（2）求得數(shù)列的通項，利用錯位相減法可求數(shù)列的和．

解答：（1）證明：∵S_n=（2ⁿ-1）a_n，∴S_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a_n+1，
兩式相減可得：a_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a_n+1-（2ⁿ-1）a_n，
∴a_n+1=

1

2

a_n，
∵a₁=l，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，a_n=(

1

2

)n-1
∵T_n=n×a_l+（n-1）a₂+（n-2）a₃+…+2×a_n-1+l×a_n，
∴

1

2

T_n=n×a₂+（n-1）a₃+（n-2）a₄+…+2×a_n+l×a_n+1，
∴

1

2

T_n=n×a_l-（a₂+a₃+…+a_n）-

1

2

a_n=n-1+

1

2n

∴Tn=2n-2+

1

2n-1

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項是關鍵．