橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的離心率為
3
2
，且過點（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=x+m與橢圓C交于兩點A，B，O為坐標原點，若△OAB為直角三角形，求m的值．
分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率和（2，0）點代入橢圓方程進而可求得a和c，進而求得b，方程可得．
（2）把直線與橢圓聯(lián)立，消去y，根據(jù)判別式大于0，進而可求得m的范圍．設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），當∠AOB為直角時，根據(jù)
OA
•
OB
=0，、求得m；當∠OAB或∠OBA為直角時，不妨設∠OAB為直角，由直線l的斜率為1，可得直線OA的斜率為-1，可得x1和y1的關(guān)系進而求得x1和m．
解答：解：（Ⅰ）由已知
c
a
=
3
2
，
4
a2
=1，
所以a=2，c=
3
，
又a2=b2+c2，所以b=1，
所以橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1；．
（Ⅱ）聯(lián)立
x2
4
+y2=1 
y=x+m
，
消去y得5x2+8mx+4m2-4=0，△=64m2-80（m2-1）=-16m2+80，
令△＞0，即-16m2+80＞0，解得-
5
＜m＜
5
．
設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），
（ⅰ）當∠AOB為直角時，
則x1+x2=-
8
5
m ， x1x2=
4m2-4
5
，
因為∠AOB為直角，所以
OA
•
OB
=0，即x1x2+y1y2=0，
所以2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，
所以
8m2-8
5
-
8
5
m2+m2=0，解得m=±
2
5
10
．
（ⅱ）當∠OAB或∠OBA為直角時，不妨設∠OAB為直角，
由直線l的斜率為1，可得直線OA的斜率為-1，
所以
y1
x1
=-1，即y1=-x1，
又
x
2
1
4
+
y
2
1
=1；，
所以
5
4
x
2
1
=1；，x1=±
2
5
5
，m=y1-x1=-2x1=±
4
5
5
，
經(jīng)檢驗，所求m值均符合題意，綜上，m的值為±
2
5
10
和±
4
5
5
．
點評：本題主要考查了橢圓的應用．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直線l和橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直角坐標系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A1，A2，上、下頂點為B2，B1，點P（
3
5
a，m）（m＞0）是橢圓C上一點，PO⊥A2B2，直線PO分別交A1B1、A2B2于點M、N．
（1）求橢圓離心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設R點是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點，RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左焦點為F1（-1，0），右焦點為F2（1，0），短軸兩個端點為A、B．與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．
（3）當弦MN的中點P落在△MF1F2內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設橢圓的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

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