Question

已知橢圓的離心率e滿足成等比數(shù)列，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為．過點(diǎn)（2，0）作直線l交橢圓于點(diǎn)A，B．
（1）若AB的中點(diǎn)C在y=4x（x≠0）上，求直線l的方程；
（2）設(shè)橢圓中心為，問是否存在直線l，使得的面積滿足2S_△AOB=|OA|•|OB|？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)及等比數(shù)列得出關(guān)于a，c的方程，解得a，c的值從而求出橢圓的方程．再結(jié)合點(diǎn)差法求直線l的斜率，從而得出直線l的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用條件等式即可求得k值，從而解決問題．
解答：解：（1）…（2分），
∴橢圓方程：…（4分）
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)為C（x，y），
則有：

∴直線l的方程為y=-x+2…（6分），經(jīng)檢驗(yàn)y=-x+2適合題意．…（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由題意可設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）
代入橢圓方程可得：…（9分）
2S_△AOB=|OA|•|OB|⇒x₁x₂+y₁y₂=0⇒（k²+1）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0，…（11分），
經(jīng)檢驗(yàn)適合題意…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于基礎(chǔ)題．